高等数学在整个数学中是什么等级的难度
明月几时有，把酒问青天，不知天上宫阙，可否有高树，树之高，不见其顶也，又其上，则黯然飘渺，不可及其层数矣，愈其上，则挂的人越多……
不知道你是否也在上大学之前听过类似的言论，大学有棵树，叫做高树（数），上面挂了很多人，亦或是随机过程随机过，概率统计看概率……
对于理工科学生来说，高数虐我千百遍，依然还要待高数如初恋，只因为，挂一科高数，等于挂两门其他的课程的学分，只因为，如果高数学不会，大二大三的专业课也无法进行。提起学高数的意义，最开始是为了拿到那个学分，后来才知道，原来很多课程都是高数作为基础的……
可是无论如何，高数终究是要学的，逃避是不可能的事。
早在公元前的希腊文明中，那时候的智者就已经表现出对数学的极大地敬畏之心，尤其以毕达哥拉斯学派为甚，以至于提出了“万物皆数”的理念。在那个时代，数学还带着一种哲学的味道，哲学家或是数学家都想用完美的数来解释这个世界和宇宙。而后很多文明的诞生与发展，数次工业革命的爆发何曾离开过数学的身影，可以说，没有数学人类文明便不会如此的繁荣昌盛。
就现实而言，当下的哪一门学科的发展能离开数学？物理学，化学，计算机，金融学，生物工程等等，这些学科的极大发展往往需要依赖于相关数学模型和数学原理的完备而实现。就我们现阶段的学习而言，没有良好的数学基础想在理工科领域内混的风生水起几乎是不可能的。
作为一个过来人，今天我就说说关于高数的点滴看法。毕竟在上大学时，笔者几乎看完学校图书室数学类比较知名图书100多本，记了笔记本（冲着考研），至今还保留有，每每看到这些笔记很是感慨啊。为了使大家了解 “ 高等数学 ” 在数学中的地位，我们简要地介绍一点数学的历史。
如上图，了解数学的发展阶段，就知道了高等数学在数学发展过程中的地位，微积分(Calculus)，即高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是以变量与变量之间的关系(即函数)为研究对象，所用的主要工具是极限。微积分最重要的思想就是“微元”和“无限逼近”。
高数为什么叫高数？
有人作了一个粗浅的比喻：如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是 “ 高等分析、高等代数、高等几何 ” （ —— 它们被统称为高等数学）。这个粗浅的比喻，形象地说明这 “ 三高 ” 在数学中的地位和作用，而微积分学在 “ 三高 ” 中又有更特殊的地位。学习微积分学当然应该有初等数学的基础，而学习任何一门近代数学或者工程技术都必须先学微积分。
英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨在总结前人工作的基础上各自独立地创立了微积分，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一件大事。
恩格斯指出： “ 在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 ” 他还说； “ 只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。 ”
美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。”
数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。
时至今日，在大学的所有经济类、理工类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。
高等数学有哪些特点？
高等数学有三个显著的特点：高度的抽象性；严谨的逻辑性；广泛的应用性。
（ 1 ）高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来。在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切。它的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。
（ 2 ）严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它从逻辑上被严格地证明了的时候，才能在数学中成立。在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论。
（ 3 ）广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性。例如，掌握了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量； …… 。掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量。
感慨与反思
善于发现数学的美，或许我们就会兴趣盎然探寻它，一首小诗送给大家
拉格朗日，
罗尔街旁，
守望柯西的忧伤；
若思想有界，
爱已收敛，
感情的定义域内连续。
洛必达的终结，
解不开泰勒的心结，
是否还在麦克劳林的彷徨中独自徘徊。
我们拿生命的定积分，
丈量感情的微分，
换来青春的不定积分，
前方是否可导，
等待一生的莱布尼茨。
法国数学家笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索”。学习必须讲究方法，但任何学习方法都不是惟一的。希望同学们能够尽快适应大学的学习生活掌握正确的学习方法，培养能力，提高综合素质。
函数在一点可导与可微是一回事吗
可导与可微是两个经常被人们混淆的概念。高中时，很多老师都说可导和可微是同一回事，但事实真的如此吗？答案是否定的，二者是完全不同的两个东西。其实大学在《高等数学》这门课里边已经非常明确地指出了可导性与可微性的定义，只是它一般不作为考试内容，也不是考研的重点。因此很多老师一带而过，没有去深究；学生们学起来也没有太在意，从而忽略了二者之间的区别。我们今天就来讲一下二者究竟有什么区别与联系。
一元函数的情形
先来看我们比较熟悉的可导性，函数在x=a处可导的意思就是在这一点的导数存在，而导数的一个几何解释就是曲线在该点处切线的斜率，它是利用割线的斜率取极限得到的
因此它有两个等价的定义式：
式子右边的这个极限如果存在，则导数存在，那么函数在该点可导。
而可微性的定义则比上式要复杂的多，它要用得到高阶无穷小的概念：
可以看出，可微性的定义与可导性是截然不同的，因此二者是完全不同的两个概念，千万不要把它们混在一起。
为了进一步弄清二者之间的区别，我们需要深刻地理解可微性这一概念。很多人对上面这个式子看得莫名其妙，那是因为不了解其背后的几何含义，我们来详细介绍一下。
微积分的发明最初是源于牛顿思考如何求变速运动的瞬时速度这一问题。他采用的是极限的思想，当然这种思想并非牛顿的首创，古希腊伟大的数学家、物理学家阿基米德，就采用过类似的方法。
他当时思考的是如何求一个圆形的面积，现在我们已经知道了，是利用内接正多边形来逼近圆的方法，当边数越多面积就越接近于圆的面积，当边数多到无限多的时候，也就是对边数求一个极限，那就可以得到圆的整个面积：
这是我国古代数学家祖冲之计算圆周率，用的也是类似的方法。这一类方法包含了一个深刻的思想就是，在一个很小的范围之内，曲线就约等于一条直线：
那么我们定义函数在一点可微用的也是这个思想，可以参见下面这个图
我们研究函数在x=a这一点的性态。首先按照刚才的思想，我们在x=a这一点附近做一条直线，让它尽可能地贴近这条曲线，注意！我这里可没有说是做一条切线，具体是做什么样的直线目前还不知道，于是我们就想知道，当它的斜率取为多少的时候，可以做到“尽可能地贴近”。
那我们就需要来分析一下什么叫做“尽可能地贴近”，我们把这条直线的斜率记成A，来研究一下函数在x=a Δx这一点，函数在这一点的取值是f(a Δx)，那么它与x=a这一点的函数值之差就是f(a Δx)-f(a)，就是图中所表示的Δy。同时直线上在这一点的取值与在x=a处的取值之间的差我们用dy来表示。
我们来计算一下dy究竟等于什么，我们知道斜率的计算公式就是(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，按照图中所示，其实就是dy/Δx，这里需要注意一下，Δx就是dx，而我们已经设出直线的斜率是A，因此dy就等于AΔx。
知道了Δy与dy，那么“尽可能地贴近”的意思就是指，Δy与dy之间的差值，即误差Δy-dy，尽可能地小。按照我们刚才给出的式子，Δy-dy就等于f(a Δx)-f(a)-AΔx，这就是可微式定义中的分子部分。
那么问题又来了，什么叫做误差尽可能的小呢，从图上可以看出，不管你直线的斜率取成什么样子，当Δx越小的时候，误差肯定也就越小。这样一来不同的直线之间就无法区分开，因此我们把条件再加强一点。我们不仅要求误差越来越小，还要求它是一个关于Δx的高阶无穷小。如果我们能找到适当的A，使得它满足这一点，那么我们就说这条直线是最“尽可能贴近”的一条直线。而高阶无穷小的定义我们在高等数学中都已经学过，就是二者的比值当Δx趋近于0的时候极限也是0，于是我就写出了刚才提到的那个可微性的定义的表达式。
我想，明白了这个原理，我们也就可以理解可微性的真正内涵，也就可以清楚的认识到，它与可导性是完全不同的两个概念。
那么，可微性与可导性之间又有什么样的联系呢？二者是相互等价的，即若f(x)在x=a处可导，则可以推出来它在a处是可微的；反过来，如果它在这一点可微则可以推出来它在这一点可导。我们来证明一下这两个结论。
- 定理1：若f(x)在x=a处可导，则它在x=a处可微
这就是我们可微性的定义，因此可以推出来函数在这一点是可微的。
反过来
定理2：若f(x)在x=a处可微，则它在x=a处可导。
上面的两个定理可以看出，可导性和可微性是有密切联系的，二者不仅互相等价，而且可导性中的导数实际上就相当于可微性定义里的那个A。这就是为什么经常会有人说二者是一回事，但实际上从严格的数学角度来看，二者是完全不同的。
当然，上面是针对于一元函数的情形；而对于多元函数，z=f(x,y)，结论就不一样了，可导与可微甚至都不是等价的。
多元函数的情形
对于多元函数，我们拿二元函数z=f(x,y)举例子，研究它在(a,b)这一点的情况。因为平面上有无数多个方向，因此我们需要研究它的偏导数，对x的偏导和对y的偏导，对x的偏导定义就是将y值固定为b，对x求导数，它的严格数学定义式是
它的几何解释就是对这个曲面在y=a处做一个横截面，截口就是一条曲线，这个曲线在x等于a处切线的斜率，如下图所示
同样在这一点关于y的偏导就是
它的几何解释就是，在x=a处做切面截出的曲线在y=b处的切线斜率，如下图所示
同样的，我们可以定义在(a,b)这一点处函数的可微性，我们同样是利用“化曲为直”的思想，二元函数的图像是一个曲面，因此这里我们是用一个平面来代替曲面，即，过f(a,b)这一点做一条尽量的贴近曲面的平面，参考一元函数的情形，我们可以画出如下图像
我们的目标也是想让函数值与平面上的值之间的误差是一个关于自变量变化的无穷小量。而自变量的变化又分成两部分，x的变化是Δx，y的变化是Δy，新旧两点之间的距离就可以利用勾股定理，即两条直角边的平方和再开方而得到，遵循同样的道理，我们可以写出函数在一点可微的定义：
可以看出，在多元函数中，一点处可导与可微之间的差异表现的就更明显了。
二者甚至都不是等价的，我们有如下结论。首先，如果可微的话，那么两个偏导数必然存在，这是一定的。
定理3：若f(x,y)在(a,b)处可微，则在该点处，关于x和y的两个偏导数都存在
于是我们有类似的结论，可微的函数不仅两个偏导数存在，并且关于x的偏导数就是定义里的A，关于y的偏导数就是定义里的B。
但是这个结论反过来就不一定成立了：即使两个偏导数都存在，那么在这一点也有可能不可微，以下是一个例子。
所以在多元函数中，可导与可微并不等价，这就告诉我们就更有必要将可导与可微给区分开了。但是我们有如下的定理：
定理4：函数f(x,y)的两个偏导数在点(a,b)的某个领域内存在，并且两个偏导函数在该点处连续，那么函数在这点可微
这个条件只是函数在一点可微的充分条件，它的证明过程比较复杂，需要使用拉格朗日中值定理，如果有兴趣的读者可以参阅相关教材。
到这里我们就基本把可导与可微的关系说清楚了，但是数学家们会研究更复杂的函数——向量函数，而它的可导性与可微性形式就更复杂了，但是思想核心还是一样的。
3.向量函数的情形
所谓向量函数，通俗的讲就是自变量与因变量都是向量的函数。一般的，它把一个n维向量映射到一个m维向量，通用的表达如下：
有时为了形式上的好看，我们把向量竖过来写：
所以一个由n维向量映射到m维向量的向量函数，实质就是m个n元函数。当向量维数比较高的时候，我们无法画出它的图形，但是当向量维数为二维或者三维的时候，它是有几何含义的。比如从二维到二维的向量函数，它的自变量x可以理解为平面上的一个位置，y表示一个向量，因此二维到二维的向量函数可以理解为给平面上每一个点赋予一个向量，比如下图所示
上面就是三个二维到二维向量函数的例子。同样三维到三维的向量函数相当于给空间中每一点赋予一个三维向量，比如下面几个例子
上面两种向量函数，我们分别称为二维向量场与三维向量场，向量场是物理学问题中的一个重要的研究工具，力场，磁场，电场等等都是某种特殊的向量场。向量场在流体力学中有着基础性的地位。上图展示的是美国旧金山地区在2010年5月1日早上6点时的空气运动
上图是加拿大新苏格兰岛附近某时刻的海水流动
飞机运行中的风洞测试也是三维向量场
因为向量函数涉及多个函数与多个自变量，因此它的导数就比较麻烦，我们需要研究每一个函数关于每一个自变量的偏导数，这样一来，我们就需要用矩阵来表示
上面这个矩阵我们就称为导数矩阵，当然有一个更专业的名字叫做雅可比矩阵(Jacobian Matrix)。卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德国数学家。
雅可比矩阵其实就是导数的多维推广，如果一个向量函数在某一点处所有函数关于所有分量的偏导数都存在，那么称它的这一点是可导的，并且它的导数就是雅可比矩阵。
将一元函数导数推广为多维就成了雅克比矩阵，同样可微性我们也是做类似的推广。我们也是希望因变量的误差值是一个关于自变量变化值的高阶无穷小，而这是因为自变量的变化只是一个向量，因此我们就需要有一个常数矩阵A，即有如下定义，若存在n×m的常数矩阵，使得向量函数满足那么我们就说该函数在a这一点是可微的。
同样道理可导的话，我们推不出可微来，但是可微的话一定可以推出各个偏导数都存在，同时雅可比矩阵就是可微性定义里边的那个矩阵A。
4.结论
好了，通过上面的一系列论述过程，我们可以体会到两点。第一，可导和可微是完全不同的两个概念，切不可混为一谈。细节体现功底，对相近概念之间差别的认识，充分反映了一个人的数学知识水平。第二，推广是数学中很重要的一个思想，我们的可微性，也是经历了一个由一元函数向多元函数，再向向量函数推广的过程。理解并自觉的运用推广这种思想，对学习数学有着非常大的帮助。
参考文献
[1] 《高等数学》，第七版，同济大学数学系，北京，高等教育出版社
[2] 《流形和STOKES定理》，徐森林，教育出版社
[3] 《数学分析（下册）》，第三版，华东师范大学数学系，北京，高等教育出版社
[4] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC
[5] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE
零基础如何准备考研数一
作为一名考研的过来人，目前是一名研究生在读，我考研的时候也是考的数学一，来给你分享一下数学的复习经验，跟你从三个方面分享，分别是数学复习建议、数学资料选择和复习时间安排。
1|数学复习建议
①:一定一定要把数学的计算能力提升上去，真的横着，有些时候你在做题的时候可能不是不会思路我，而是被计算给难住了。（前期一定要多加练习）
②:对于一些基本的概念、定义、性质、定理等一定要懂得它的来龙去脉，不能理解的马马虎虎这样会影响你后面的复习，对于有些题不能是只会算，要知道这题考查的是什么，考场的是哪一个章节的知识点？
③:平时做题的时候一定要思考，当自己没有思路的时候一定要反复思考，自己是因为知识点、性质、定理或者其他的没复习到，才导致无从下手，对于一些知识点要灵活掌握灵活使用，学号变通，考前适当的做一些新题目 开拓一下自己的眼界 发展一下自己的思维。
2|数学资料选择
①不管你是考数一、数二、数三、还是数农等，资料选择都可以参考一下，市面上看得到的那些老师的视频课自己在前期可以都看看，然后看哪个老师的讲课风格更加适合自己，然后数学资料可以随意搭配，不一定全买一个老师的，比如：高数你买张宇的18讲、线性代数你买李永乐的复习讲义、概率论买王式安的等等（这只是一个举例）
②关于题集的话，买一本就行，市面上常见的是张宇的1000题、汤家风的1800、李永乐的600、杨超的986、李林的880等，自己选择一本就行了，个人感觉杨超的986不错，这些题集都大同小异，所以没必要全买。
③真题的选择，市面上也有很多，个人比较推荐张宇的真题，答案分章节的，挺适合后期使用的，另外可以在买本杨超的，超哥的真题有的题目给了好几种的解法，非常有利于拓展自己的思维！
3|复习时间安排
①前期基础阶段（3-7月），大多数人的复习基本都是在2月份开学后，3月开始复习，如果前期开始复习的同学建议多练习基础的计算，比如高数里面的求导、求极限、求微分等，基础阶段结合老师的基础视频，最好是看完一章节做对应的题目(基础题)，数学最重要的就是做题来检验自己是否真的掌握了知识点。
②中期强化阶段（7-9月中），个人比较建议在暑假之前过完基础，不管你是考数几，然后在暑假阶段就是在跟着老师的强化视频走一遍，把一些知识点再次巩固，很多可能之前遗忘了，或者复习的不好的地方，也是一样的，边看视频边做题(强化题)。
③冲刺阶段（10-12），在冲刺阶段的前期就是开始做真题，真题近30年的都要做，个人比较建议05年以前的按照章节来做，05年以后的题目按照正常考试时间自己模拟做，给自己找某个上午三个小时，自己做一下，看看自己复习的情况怎么样，真题做完后，一定要把错的题目在做一下，找一下错误的原因。这个时候差不多距离考试就没多久了，考前在做几套模拟题，比如张宇的模拟卷、李林的模拟卷、汤家风的模拟卷等，一定要记住这些模拟卷跟真题是有差距的，如果做的不好也别灰心丧气！
总结:你可以从我上面分享的三个方面来着手复习数学，数学确实比较难，但是也不要灰心丧气，坚持下去，加油！
数学到底是不是一种语言
谢邀。
任何学问都是一种语言，是从不同角度解释这个世界的各种方法。不过，我对数学是个门外汉，不知道其中的奥妙，无法详细的解答你的问题。不好意思。
